Профильная информатика:
подготовка к ЕГЭ и олимпиадам

1. После преобразования импликации получим: \[\left(A\cdot\left(x−2\right)\ge y\right)\lor\left(\left(x−10\right)\cdot\left(20−x\right)<y\right)=1.\]

2. Неравенство \(\left(x−10\right)\cdot\left(20−x\right)<y\) определяет область над параболой (не включая точки на границе), ветви которой направлены вниз, точки пересечения с осью \(0X\): \(x_1=10\) и \(x_2=20\), вершина в точке \(\left(15;25\right).\)

3. Неравенство \(A\cdot\left(x−2\right)\ge y\) определяет область под прямой (включая границу) с неизвестным наклоном \(A.\) Так как рассматриваются лишь точки, лежащие в первой четверти, нужно провести эту прямую так, чтобы она прошла выше всех точек параболы или же коснулась параболы в одной из них.

4. Таким образом, необходимо решить следующее квадратичное неравенство: \[\left(x−10\right)\cdot\left(20−x\right)\le A\left(x-2\right).\] Для этого раскроем скобки и решим полученное уравнение: \[-x^2+\left(30-A\right)x+2A-200=0.\]

5. Чтобы парабола и прямая не пересекались в двух точках, оставляя "не закрытой" некоторую область посередине, дискриминант \(D\) не должен быть положителен: \[D=(30-A)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(2A-200\right)\le 0.\] Корни уравнения \(D=A^2-52A+100=0\) равны \(A_1=2\), \(A_2=50\) и соответсвуют случаю касания параболы и прямой. Таким образом, допустимыми значениями параметра \(A\) являтся все целые точки отрезка \([2;50]\), при этом наименьшим является значение \(A_{min}=2.\)