Профильная информатика:
подготовка к ЕГЭ и олимпиадам

Предположим, что известно значение корня \(x=a\) в десятичной системе счисления. Тогда исходное уравнение может быть записано в следующем виде: \[(x-a)^2=0 \Rightarrow x^2-2ax+a^2=0.\] Сопоставляя полученное уравнение с исходным, записанным в неизвестной системе счисления с основанием \(p\), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\): \[a^{2} = 240_{p},\quad 2a = 30_{p}.\] Далее переведём правые части уравнений в десятичную систему счисления: \[a^{2} = 2p^{2}+4p,\quad 2a = 3p.\] Подставив в первое уравнение \(a=\frac{3}{2}p\), имеем следующее: \[ \left(\frac{3}{2}p\right)^2 - 2p^2 - 4p = 0 \Rightarrow p \left(p-16\right)=0.\] Учитывая, что \(p\in\mathbb{N}\) и \(p>4\), окончательно получим \(p=16\).

При решении задачи можно учитывать тот факт, что дискриминант \(D = b^2 - 4 a c\) равен 0. Таким образом, получим: \[D = 30_p \cdot 30_p - 4 \cdot 1 \cdot 240_p = 0 \Rightarrow 3p \cdot 3p - 4 \cdot (2p^2+4p) = 0,\] откуда \(p^2 - 16p = 0\) и, соответственно, \(p=16\).