Профильная информатика:
подготовка к ЕГЭ и олимпиадам

1 2 3 4 5 6^Р 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Два игрока, Алиса и Боб, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Алиса. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 60. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то  есть первым получивший кучу, в которой будет 61 или больше камней. В начальный момент в куче было \(1 \le S \le 60\) камней.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1) а) Укажите все такие значения числа \(S\), при которых Алиса может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения \(S\), и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения \(S\).

б) Укажите такое значение \(S\), при котором Алиса не может выиграть за один ход, но при любом ходе Алисы Боб может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Боба.

2) Укажите два таких значения \(S\), при которых у Алисы есть выигрышная стратегия, причём Алиса не может выиграть за один ход и может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Боб. Для каждого указанного значения \(S\) опишите выигрышную стратегию Алисы.

3) Укажите значение \(S\), при котором:

— у Боба есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Алисы, и

— у Боба нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения \(S\) опишите выигрышную стратегию Боба. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Боба (в виде рисунка или таблицы).